2. Решите неравенства: a) 2x - 3(x + 4) < x + 12; б) (x - 2)(x-4) <0.

Решение:

2. а) Решим неравенство \( 2x - 3(x + 4) < x + 12 \).

1. Раскроем скобки: \( 2x - 3x - 12 < x + 12 \).
2. Приведём подобные слагаемые: \( -x - 12 < x + 12 \).
3. Перенесём члены с \( x \) в правую часть, а константы — в левую: \( -12 - 12 < x + x \).
4. \( -24 < 2x \).
5. Разделим обе части на 2: \( -12 < x \).
6. Таким образом, \( x > -12 \).

2. б) Решим неравенство \( (x - 2)(x - 4) < 0 \).

1. Данное неравенство представляет собой произведение двух множителей, которое должно быть отрицательным. Это возможно, когда множители имеют разные знаки.
2. Найдем корни уравнения \( (x - 2)(x - 4) = 0 \). Корни: \( x = 2 \) и \( x = 4 \).
3. Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: \( (-\infty; 2) \), \( (2; 4) \), \( (4; +\infty) \).
4. Проверим знак произведения на каждом интервале:
• На интервале \( (-\infty; 2) \), например, при \( x = 0 \): \( (0-2)(0-4) = (-2)(-4) = 8 > 0 \).
• На интервале \( (2; 4) \), например, при \( x = 3 \): \( (3-2)(3-4) = (1)(-1) = -1 < 0 \).
• На интервале \( (4; +\infty) \), например, при \( x = 5 \): \( (5-2)(5-4) = (3)(1) = 3 > 0 \).
5. Неравенство \( (x - 2)(x - 4) < 0 \) выполняется на интервале \( (2; 4) \).

Ответ: а) \( x > -12 \); б) \( (2; 4) \).