2. Исследуйте на монотонность: а) y = x⁶ − x²; б) y = 4x/(x² − 8); в) y = x⁵ − 3x⁴; г) y = (x² + 1)/(x² − 2x).

а) y′ = 6x⁵ − 2x = 2x(3x⁴ − 1). Критические точки: x = 0 и x = ±1/∜3. По знаку производной функция убывает на (−∞; −1/∜3) и (0; 1/∜3), возрастает на (−1/∜3; 0) и (1/∜3; +∞).

б) Область определения: x ≠ ±2√2. Производная y′ = −4(x² + 8)/(x² − 8)² отрицательна во всей области определения. Функция убывает на каждом промежутке (−∞; −2√2), (−2√2; 2√2), (2√2; +∞).

в) y′ = 5x⁴ − 12x³ = x³(5x − 12). Производная положительна при x < 0 и x > 12/5, отрицательна при 0 < x < 12/5. Функция возрастает на (−∞; 0) и (12/5; +∞), убывает на (0; 12/5).

г) Область определения: x ≠ 0, 2. Производная y′ = −2(x² + x − 1)/(x² − 2x)². Нули производной: α = (−1 − √5)/2 и β = (−1 + √5)/2. Производная отрицательна при x < α и x > β, положительна при α < x < β. С учётом разрывов функция убывает на (−∞; α), (β; 2), (2; +∞) и возрастает на (α; 0), (0; β).