2 Игральную кость бросают дважды. Являются ли независимыми события М «на первой кости выпало 2 или 3 очка» и N «сумма выпавших очков не больше семи»? Ответ объясните.

Решение:

События М и N являются зависимыми.

Объяснение:

1. Событие М: «на первой кости выпало 2 или 3 очка». Вероятность этого события \( P(M) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
2. Событие N: «сумма выпавших очков не больше семи».
3. Рассмотрим случай, когда событие М произошло. Это означает, что на первой кости выпало 2 или 3 очка.
• Если на первой кости выпало 2, то для того, чтобы сумма очков была не больше семи, на второй кости может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 (всего 5 вариантов).
• Если на первой кости выпало 3, то для того, чтобы сумма очков была не больше семи, на второй кости может выпасть 1, 2, 3, 4 (всего 4 варианта).
4. Таким образом, общее число исходов, когда событие М произошло и сумма очков не больше семи, составляет \( 5 + 4 = 9 \).
5. Общее количество исходов, когда событие М произошло (первая кость — 2 или 3), равно \( 2 \times 6 = 12 \).
6. Вероятность события N при условии, что событие М произошло, равна \( P(N|M) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \).
7. Теперь найдём вероятность события N без условия М. Всего исходов, когда сумма очков не больше семи: (1,1)...(1,6), (2,1)...(2,5), (3,1)...(3,4), (4,1)...(4,3), (5,1)...(5,2), (6,1). Всего \( 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21 \) исход.
8. Вероятность события N: \( P(N) = \frac{21}{36} = \frac{7}{12} \).
9. Так как \( P(N|M) = \frac{3}{4} \) и \( P(N) = \frac{7}{12} \), то \( P(N|M) \neq P(N) \). Следовательно, события М и N зависимы.

Ответ: Нет, не являются независимыми.