2. Доказать теорему Пифагора.

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Доказательство (один из вариантов):

Возьмем прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Построим квадрат со стороной a + b. Внутри этого квадрата разместим четыре копии нашего прямоугольного треугольника так, чтобы их гипотенузы образовывали квадрат в центре. Сторона этого внутреннего квадрата будет равна c.

Площадь большого квадрата можно вычислить двумя способами:

1. Как квадрат стороны: (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. Как сумму площадей четырех треугольников и внутреннего квадрата: 4 ⋅ (1/2)ab + c² = 2ab + c²

Приравнивая эти два выражения, получаем:

a² + 2ab + b² = 2ab + c²

Вычитая 2ab из обеих частей уравнения, получаем:

a² + b² = c²

Что и требовалось доказать.