2. Доказать свойство медиан треугольника.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник ABC. Проведем две медианы: AM (M — середина BC) и BN (N — середина AC). Пусть они пересекаются в точке O. Соединим середины сторон AC и BC — точки N и M. Отрезок NM является средней линией треугольника ABC и параллелен AB, а его длина равна половине длины AB.

Рассмотрим треугольник AB O и треугольник NM O. Так как NM || AB, то ∠NAB = ∠ANM (как накрест лежащие при параллельных NM и AB и секущей AN) и ∠NBA = ∠NMB (как накрест лежащие при параллельных NM и AB и секущей NB). Вертикальные углы ∠AOB и ∠NOM равны.

Следовательно, треугольники AOB и NOM подобны по двум углам (первый признак подобия). Отношение их сторон равно отношению их площадей и равно 1:2 (так как NM = 1/2 AB). Таким образом, AO/ON = BO/OM = AB/NM = 2/1.

Так как O — точка пересечения медиан AM и BN, то AO:OM = 2:1 и BO:ON = 2:1. Это доказывает свойство медиан.