2. Доказать теорему о средней линии треугольника.

Теорема о средней линии треугольника:

Средняя линия треугольника, соединяющая две стороны треугольника, параллельна основанию и равна половине основания.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC проведена средняя линия MN, соединяющая стороны AB и BC. По определению средней линии, M — середина AB, N — середина BC. Следовательно, BM = MA и BN = NC. Рассмотрим треугольники ABC и MBN. У них общий угол B. Отношение сторон MB/AB = 1/2 и NB/CB = 1/2. Следовательно, MB/AB = NB/CB. По второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольник MBN подобен треугольнику ABC. Из подобия следует, что MN/AC = 1/2, то есть MN = 1/2 AC. Также из подобия следует, что соответствующие углы равны: ∠BMN = ∠BAC. Так как эти углы являются накрест лежащими при прямых MN и AC и секущей AB, то MN || AC. Теорема доказана.