2.5.19. Найдите значение выражения $$\frac{\sqrt{12} \cdot \sqrt{270}}{\sqrt{60}}$$.

Решение:

Для нахождения значения выражения \(\frac{\sqrt{12} \cdot \sqrt{270}}{\sqrt{60}}\), воспользуемся свойствами квадратного корня.

1. Объединим числитель под одним корнем:

\[ \sqrt{12} \cdot \sqrt{270} = \sqrt{12 \cdot 270} = \sqrt{3240} \]

Теперь выражение выглядит так:

\[ \frac{\sqrt{3240}}{\sqrt{60}} \]

Используем свойство \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\):

\[ \sqrt{\frac{3240}{60}} = \sqrt{54} \]

Упростим корень \(\sqrt{54}\). Разложим 54 на множители: \( 54 = 9 \cdot 6 \).

\[ \sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} = 3 \sqrt{6} \]

Ответ: 3√6