2.5.16. Найдите значение выражения $$\sqrt{2^4 \cdot 3^4 \cdot 5^2}$$.

Решение:

Для нахождения значения выражения \(\sqrt{2^4 \cdot 3^4 \cdot 5^2}\) воспользуемся свойствами квадратного корня.

1. Разложим выражение под корнем на множители: \( 2^4 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \).
2. Применим свойство \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) и \(\sqrt{a^n} = a^{n/2}\):

\[ \sqrt{2^4 \cdot 3^4 \cdot 5^2} = \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^2} = 2^{4/2} \cdot 3^{4/2} \cdot 5^{2/2} = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 4 \cdot 9 \cdot 5 \]

Произведём вычисление:

\[ 4 \cdot 9 \cdot 5 = 36 \cdot 5 = 180 \]

Ответ: 180