2.5.15. Найдите значение выражения $$\sqrt{2^2 \cdot 5^2 \cdot 7^4}$$.

Решение:

Для нахождения значения выражения \(\sqrt{2^2 \cdot 5^2 \cdot 7^4}\) воспользуемся свойствами квадратного корня.

1. Разложим выражение под корнем на множители: \( 2^2 \cdot 5^2 \cdot 7^4 \).
2. Применим свойство \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) и \(\sqrt{a^n} = a^{n/2}\):

\[ \sqrt{2^2 \cdot 5^2 \cdot 7^4} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{7^4} = 2^{2/2} \cdot 5^{2/2} \cdot 7^{4/2} = 2^1 \cdot 5^1 \cdot 7^2 = 2 \cdot 5 \cdot 49 \]

Произведём вычисление:

\[ 2 \cdot 5 \cdot 49 = 10 \cdot 49 = 490 \]

Ответ: 490