2.5.18. Найдите значение выражения $$\sqrt{7 \cdot 5^2} \cdot \sqrt{7 \cdot 2^4}$$.

Решение:

Для нахождения значения выражения \(\sqrt{7 \cdot 5^2} \cdot \sqrt{7 \cdot 2^4}\) воспользуемся свойствами квадратного корня.

1. Перемножим выражения под корнями, используя свойство \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}\):

\[ \sqrt{7 \cdot 5^2} \cdot \sqrt{7 \cdot 2^4} = \sqrt{(7 \cdot 5^2) \cdot (7 \cdot 2^4)} = \sqrt{7^2 \cdot 5^2 \cdot 2^4} \]

Применим свойство \(\sqrt{a^n} = a^{n/2}\):

\[ \sqrt{7^2 \cdot 5^2 \cdot 2^4} = 7^{2/2} \cdot 5^{2/2} \cdot 2^{4/2} = 7^1 \cdot 5^1 \cdot 2^2 = 7 \cdot 5 \cdot 4 \]

Произведём вычисление:

\[ 7 \cdot 5 \cdot 4 = 35 \cdot 4 = 140 \]

Ответ: 140