19. Точка Т — центр окружности, на которой лежат точки E, F и D. Известно, что ∠EFD = 16° и ∠TEF = 7°. Найдите угол FDT. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Т — центр окружности. Точки E, F, D лежат на окружности.

∠EFD = 16°. Это вписанный угол, опирающийся на дугу ED. Следовательно, градусная мера дуги ED равна 2 * ∠EFD = 2 * 16° = 32°.

Угол FDT — центральный угол, опирающийся на дугу EF.

∠TEF = 7°. TE и TF — радиусы. Треугольник TEF равнобедренный (TE=TF=R). Угол TFE = ∠TEF = 7°.

Угол ETF = 180° - (7° + 7°) = 180° - 14° = 166°.

Угол ETF — центральный угол, опирающийся на дугу EF. Следовательно, дуга EF = 166°.

Угол FDT — центральный угол, опирающийся на дугу FT.

Сумма дуг окружности равна 360°: Дуга ED + Дуга EF + Дуга FD = 360°.

Мы знаем дугу ED = 32° и дугу EF = 166°.

Дуга FD = 360° - Дуга ED - Дуга EF = 360° - 32° - 166° = 360° - 198° = 162°.

Угол FDT — центральный угол, опирающийся на дугу FD. Следовательно, ∠FDT = Дуга FD = 162°.

Перепроверка:

T — центр. TE=TF=TD=R.

∠EFD = 16° (вписанный). Опирается на дугу ED. Дуга ED = 2 * 16° = 32°.

∠TEF = 7°. TE=TF. Треугольник TEF равнобедренный. ∠TFE = 7°. ∠ETF = 180° - (7°+7°) = 166°.

∠ETF — центральный угол. Опирается на дугу EF. Дуга EF = 166°.

Ищем ∠FDT. Это центральный угол, опирающийся на дугу FD.

Сумма углов вокруг центра T = 360°.

∠ETD + ∠DTF + ∠FTE = 360° (это неверно, углы между радиусами).

Дуга ED = 32°.

Дуга EF = 166°.

Дуга FD = 360° - 32° - 166° = 162°.

Угол FDT — центральный, опирается на дугу FD. ∠FDT = 162°.

Ответ: 162