15. Точки R, K, C и N лежат на одной окружности так, что хорды RK и CN взаимно перпендикулярны, а ∠KNC = 77°. Найдите величину угла RCN. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол KNC — вписанный, опирающийся на дугу KC. Следовательно, градусная мера дуги KC равна удвоенной величине угла KNC: Дуга KC = 2 * ∠KNC = 2 * 77° = 154°.

Угол RCN — вписанный, опирающийся на дугу RN.

Нам известно, что хорды RK и CN перпендикулярны. Пусть точка их пересечения — O.

∠KOC = 90°.

В окружности сумма дуг, отсекаемых двумя перпендикулярными хордами, равна 180°. Однако это не совсем так.

Если хорды RK и CN перпендикулярны, то сумма дуг, на которые они опираются, равна 180° (Дуга RC + Дуга KN = 180°).

Также, если хорды перпендикулярны, то сумма противоположных вписанных углов, опирающихся на дуги, образованные этими хордами, равна 90°.

Рассмотрим вписанные углы, опирающиеся на дуги, образованные пересечением хорд RK и CN:

∠RCN опирается на дугу RN.

∠CKR опирается на дугу CR.

∠KNC опирается на дугу KC = 154°.

∠RKC опирается на дугу NC.

∠NRC опирается на дугу KC = 154°.

∠RKN опирается на дугу RN.

∠CKN опирается на дугу CN.

∠KRC опирается на дугу KC = 154°.

∠NKR опирается на дугу NR.

Известно, что RK ⊥ CN.

Вписанный угол ∠KNC = 77° опирается на дугу KC. Значит, дуга KC = 2 * 77° = 154°.

Угол RCN вписанный, опирается на дугу RN.

Свойство перпендикулярных хорд: сумма дуг противоположных дуг равна 180° (Дуга RC + Дуга KN = 180°). Также, сумма дуг, отсекаемых перпендикулярными хордами, равна 180° (например, дуга RC + дуга KN = 180°). Это неверно.

Если две хорды перпендикулярны, то сумма дуг, заключенных между концами этих хорд, равна 180° (дуга RC + дуга NK = 180°).

Вписанный угол ∠KRC опирается на дугу KC. ∠KRC = 154°/2 = 77°.

Вписанный угол ∠RKN опирается на дугу RN.

Вписанный угол ∠CKN опирается на дугу CN.

Вписанный угол ∠RCN опирается на дугу RN.

Вписанный угол ∠RKC опирается на дугу NC.

Рассмотрим сумму дуг, образованных пересечением хорд. Если RK ⊥ CN, то дуга KN + дуга RC = 180°.

Мы знаем дугу KC = 154°.

Сумма всех дуг окружности равна 360°: Дуга KC + Дуга CN + Дуга NR + Дуга RK = 360° (Это неверно, так как хорды пересекаются внутри).

Сумма дуг, которые отсекают перпендикулярные хорды: Дуга KN + Дуга RC = 180°.

А также: Дуга KC + Дуга RN = 180°.

Мы нашли Дугу KC = 154°.

Значит, Дуга RN = 180° - Дуга KC = 180° - 154° = 26°.

Угол RCN — вписанный, опирающийся на дугу RN.

∠RCN = Дуга RN / 2 = 26° / 2 = 13°.

Ответ: 13