19 Сформулируйте и докажите утверждения о признаках ромба.

Обоснование: Задание требует сформулировать и доказать теоремы, которые определяют, является ли четырёхугольник ромбом.

Признаки ромба:

1. Признак 1: Если четырёхугольник является параллелограммом и его диагонали взаимно перпендикулярны, то этот четырёхугольник — ромб.
• Доказательство: Пусть дан параллелограмм ABCD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O под прямым углом (AC ⊥ BD). Рассмотрим треугольники AOB и COB. Они равны по первому признаку равенства треугольников (AO = CO, так как диагонали параллелограмма делятся пополам; ∠AOB = ∠COB = 90°; OB — общая сторона). Из равенства треугольников следует, что AB = CB. Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то AB = CD и CB = AD. Следовательно, AB = CB = CD = AD. Четырёхугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.
2. Признак 2: Если четырёхугольник является параллелограммом и одна из его диагоналей делит угол этого параллелограмма пополам, то этот четырёхугольник — ромб.
• Доказательство: Пусть дан параллелограмм ABCD, и диагональ AC делит угол A пополам, то есть ∠BAC = ∠CAD. Так как AB || CD, то ∠BAC = ∠ACD (как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC). Следовательно, ∠CAD = ∠ACD. В треугольнике ADC эти углы равны, значит, треугольник ADC равнобедренный, и AD = CD. Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то AB = CD и BC = AD. Следовательно, AD = CD = AB = BC. Четырёхугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.
3. Признак 3: Если четырёхугольник имеет равные диагонали, которые взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, то он является квадратом. (Квадрат — это частный случай ромба).
• Доказательство: Четырёхугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, является ромбом. Если при этом диагонали равны, то этот ромб является квадратом.