7 Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Дано: ABCD — параллелограмм.

Доказать: AB = CD, BC = AD, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.

Доказательство:

1. Проведем диагональ AC.
2. Рассмотрим треугольники ΔABC и ΔCDA.
3. Сторона AC — общая для обоих треугольников.
4. Так как ABCD — параллелограмм, то AB || CD и BC || AD.
5. При параллельных прямых AB и CD и секущей AC, накрест лежащие углы равны: ∠BAC = ∠DCA.
6. При параллельных прямых BC и AD и секущей AC, накрест лежащие углы равны: ∠BCA = ∠DAC.
7. Таким образом, ΔABC = ΔCDA по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
8. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB = CD и BC = AD.
9. Также равны соответствующие углы: ∠B = ∠D.
10. Углы ∠A и ∠C состоят из равных частей: ∠A = ∠BAC + ∠DAC и ∠C = ∠DCA + ∠BCA.
11. Поскольку ∠BAC = ∠DCA и ∠DAC = ∠BCA, то ∠A = ∠C.

Вывод: В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.