19. (3 балла) Решить уравнение (3x² - x - 2)√2x - 1 = 0

Решение:

Уравнение представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Это возможно, если хотя бы один из множителей равен нулю. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) для квадратного корня.

1. ОДЗ:

\[ 2x - 1 \ge 0 \]

\[ 2x \ge 1 \]

\[ x \ge 1/2 \]

2. Приравняем каждый множитель к нулю:

• Случай 1: \( \sqrt{2x-1} = 0 \)

Возведем обе части в квадрат:

\[ 2x - 1 = 0 \]

\[ 2x = 1 \]

\[ x = 1/2 \]

Проверим, входит ли это решение в ОДЗ: \( 1/2 \ge 1/2 \). Да, входит.

• Случай 2: \( 3x^2 - x - 2 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(3)(-2) = 1 + 24 = 25 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{25} = 5 \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2 \times 3} = \frac{6}{6} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2 \times 3} = \frac{-4}{6} = -2/3 \]

Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ:

• Для \( x_1 = 1 \): \( 1 \ge 1/2 \). Да, входит.
• Для \( x_2 = -2/3 \): \( -2/3 \ge 1/2 \). Нет, не входит.

Таким образом, решениями уравнения являются \( x = 1/2 \) и \( x = 1 \).

Ответ: \( x = 1/2, x = 1 \)