15. (2 балла) Решите уравнение sin 2x - cos x = 2 sin x - 1.

Решение:

1. Используем формулу синуса двойного угла (sin 2x = 2 sin x cos x):

   \[ 2 \sin x \cos x - \cos x = 2 \sin x - 1 \]

2. Перенесем все члены в левую часть:

   \[ 2 \sin x \cos x - \cos x - 2 \sin x + 1 = 0 \]

3. Сгруппируем слагаемые:

   \[ (2 \sin x \cos x - 2 \sin x) - (\cos x - 1) = 0 \]

   \[ 2 \sin x (\cos x - 1) - (\cos x - 1) = 0 \]

4. Вынесем общий множитель (cos x - 1):

   \[ (\cos x - 1)(2 \sin x - 1) = 0 \]

5. Приравняем каждый множитель к нулю:
• Случай 1: \( \cos x - 1 = 0 \)

\[ \cos x = 1 \]

Отсюда, \( x = 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.

• Случай 2: \( 2 \sin x - 1 = 0 \)

\[ 2 \sin x = 1 \]

\[ \sin x = 1/2 \]

Отсюда, \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Ответ: \( x = 2\pi k \), \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( k, n \) — любые целые числа.