14. (1 балл) Найдите наименьшее значение функции y = x³ + 3x² - 3 на отрезке [-2; 1].

Решение:

1. Найдем производную функции:

   \[ y' = (x^3 + 3x^2 - 3)' \]

   \[ y' = 3x^2 + 6x \]

2. Найдем критические точки (где производная равна 0 или не существует):

   \[ 3x^2 + 6x = 0 \]

   \[ 3x(x + 2) = 0 \]

   Критические точки: x = 0 и x = -2.

3. Вычислим значения функции в критических точках, которые попадают в отрезок [-2; 1], и на концах отрезка:
• При x = -2:

\[ y = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 3 = -8 + 3(4) - 3 = -8 + 12 - 3 = 1 \]

• При x = 0:

\[ y = (0)^3 + 3(0)^2 - 3 = 0 + 0 - 3 = -3 \]

• При x = 1 (конец отрезка):

\[ y = (1)^3 + 3(1)^2 - 3 = 1 + 3 - 3 = 1 \]

4. Сравним полученные значения:

Значения функции: 1, -3, 1. Наименьшее значение равно -3.

Ответ: -3