17. (2 балла) Решите систему уравнений { 2x + 7y = 1, 2^(x+y+2) = 4^(x+2) }

Решение:

Данная система уравнений:

\[ \begin{cases} 2x + 7y = 1 \\ 2^{x+y+2} = 4^{x+2} \end{cases} \]

1. Упростим второе уравнение:

Заметим, что 4 = 2². Подставим это в уравнение:

\[ 2^{x+y+2} = (2^2)^{x+2} \]

\[ 2^{x+y+2} = 2^{2(x+2)} \]

Теперь, когда основания равны, приравняем показатели степеней:

\[ x + y + 2 = 2(x + 2) \]

\[ x + y + 2 = 2x + 4 \]

Перенесем все переменные в одну сторону, а константы в другую:

\[ y - x = 4 - 2 \]

\[ y - x = 2 \]

Выразим y через x:

\[ y = x + 2 \]

2. Подставим полученное выражение для y в первое уравнение системы:

\[ 2x + 7(x + 2) = 1 \]

\[ 2x + 7x + 14 = 1 \]

\[ 9x = 1 - 14 \]

\[ 9x = -13 \]

\[ x = -13/9 \]

3. Найдем значение y, подставив найденное значение x в выражение y = x + 2:

\[ y = -13/9 + 2 \]

\[ y = -13/9 + 18/9 \]

\[ y = 5/9 \]

Ответ: \( x = -13/9, y = 5/9 \)