1842. Площадь прямоугольного треугольника равна 65. Один из его катетов на 3 больше другого. Найдите меньший катет.

Решение:

Пусть меньший катет равен \( x \). Тогда больший катет равен \( x + 3 \).

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2}ab \), где \( a \) и \( b \) — катеты.

\( \frac{1}{2} x(x+3) = 65 \)

\( x(x+3) = 130 \)

\( x^2 + 3x - 130 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-130) = 9 + 520 = 529 \). \( √{D} = 23 \).

\( x_1 = \frac{-3 + 23}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)

\( x_2 = \frac{-3 - 23}{2} = \frac{-26}{2} = -13 \)

Так как длина катета не может быть отрицательной, меньший катет равен 10.

Ответ: 10.