184. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если угол, смежный с углом многоугольника, составляет \(\frac{1}{9}\) угла многоугольника?

Решение:

Пусть \( \alpha \) — угол многоугольника. Тогда смежный с ним угол равен \( 180^{\circ} - \alpha \).

По условию задачи:

\( 180^{\circ} - \alpha = \frac{1}{9} \alpha \)

Умножим обе части на 9:

\( 9(180^{\circ} - \alpha) = \alpha \)

\( 1620^{\circ} - 9\alpha = \alpha \)

\( 1620^{\circ} = 10\alpha \)

\( \alpha = \frac{1620^{\circ}}{10} = 162^{\circ} \)

Теперь найдем количество сторон \( n \) по формуле угла правильного n-угольника:

\( \alpha = \frac{180^{\circ} (n - 2)}{n} \)

\( 162^{\circ} = \frac{180^{\circ} (n - 2)}{n} \)

\( 162n = 180n - 360 \)

\( 18n = 360 \)

\( n = \frac{360}{18} = 20 \)

Ответ: 20 сторон.