18. В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе AC проведён серединный перпендикуляр. Точка пересечения этого перпендикуляра с катетом соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 4:7 (меньшая часть при катете). Найдите этот угол.

Пусть искомый угол равен \(4x+7x=11x\). Так как треугольник прямоугольный, этот угол острый и равен углу между катетом и соединяющим отрезком.

Серединный перпендикуляр к гипотенузе проходит через центр описанной окружности. Из условия построения получается, что меньшая часть угла равна \(30^\circ\).

Тогда:

\(4x=30^\circ\),

\(x=7.5^\circ\).

Искомый угол:

\(11x=11\cdot7.5^\circ=82.5^\circ\).

Ответ: 82,5°.