19. Задумали трёхзначное число, которое делится на 11 и последняя цифра которого в 4 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась меньше 400. Какое число было задумано?

Задание 19. Числовая головоломка

Решение:

1. Пусть задуманное число имеет вид abc, где a, b, c — цифры.
2. Число можно записать как 100a + 10b + c.
3. По условию, последняя цифра (c) в 4 раза меньше первой (a): c = a / 4. Так как a и c — цифры, то a может быть только 4 или 8 (иначе c не будет целой цифрой).
4. • Случай 1: a = 4. Тогда c = 4 / 4 = 1. Число имеет вид 4b1.
   • Случай 2: a = 8. Тогда c = 8 / 4 = 2. Число имеет вид 8b2.
5. Число делится на 11. Признак делимости на 11: сумма цифр на нечётных позициях минус сумма цифр на чётных позициях делится на 11.
6. • Для числа 4b1: (4 + 1) - b = 5 - b. Это выражение должно делиться на 11. Единственное значение b (цифра от 0 до 9), при котором 5 - b делится на 11, это b = 5 (5 - 5 = 0, что делится на 11). Число: 451.
   • Для числа 8b2: (8 + 2) - b = 10 - b. Это выражение должно делиться на 11. Единственное значение b, при котором 10 - b делится на 11, это b = 10 (10 - 10 = 0), но 10 не является цифрой. Следовательно, случай с a = 8 невозможен.
7. Итак, задуманное число — 451.
8. Число, записанное в обратном порядке — 154.
9. Вычтем одно из другого: 451 - 154 = 297.
10. Полученная разность (297) меньше 400, что соответствует условию.
11. Проверим делимость 451 на 11: 451 / 11 = 41. Делится.

Ответ: 451