17. Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 35°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Пошаговое решение:

1. Пусть точка пересечения диагоналей ромба - O. Диагонали пересекаются под прямым углом, поэтому угол между половинами диагоналей равен 90°.
2. Рассмотрим треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Это прямоугольный треугольник.
3. Пусть перпендикуляр из O к стороне ромба пересекает сторону в точке H. Тогда OH - это перпендикуляр.
4. По условию, угол между перпендикуляром OH и одной из диагоналей (пусть это будет половина диагонали AO) равен 35°.
5. В прямоугольном треугольнике AHO, сумма углов равна 180°. Угол AOH = 90°, угол OHA = 90°.
6. Угол OAH = 180° - 90° - 90° = 0°, что невозможно. Ошибка в интерпретации условия.
7. Переосмыслим условие: Перпендикуляр (OH) к стороне ромба (AB) образует с ДИАГОНАЛЬЮ (AO) угол 35°.
8. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOH. Угол OHA = 90°. Угол OAH = 35°.
9. Сумма углов в треугольнике AOH: \( ·(AOH) + ·(OAH) + ·(AOH) = 180^° \).
   \( ·(AOH) = 180^° - 90^° - 35^° = 55^° \).
10. Угол AOH - это половина одной из диагоналей, которая также является половиной угла ромба.
11. Если угол между перпендикуляром и диагональю 35°, то угол, который образует диагональ с стороной, составляет 55°.
12. Диагонали ромба делят углы ромба пополам. Значит, угол ромба, одна из диагоналей которого делит его пополам, равен \( 55^° · 2 = 110^° \).
13. Так как ромб имеет два острых и два тупых угла, острый угол будет \( 180^° - 110^° = 70^° \).
14. Проверим: если острый угол ромба 70°, то половина его 35°. Диагональ делит этот угол пополам.
15. Рассмотрим треугольник AOH. Угол OAH = 35°. Угол AHO = 90°. Тогда угол AOH = 55°.
16. Но диагонали ромба перпендикулярны. Значит, угол между половинами диагоналей 90°.
17. Если угол между диагональю и стороной 35°, то половина угла ромба равна 35°. Тогда весь угол ромба равен \( 35^° · 2 = 70^° \).
18. В этом случае, угол между перпендикуляром к стороне и диагональю в прямоугольном треугольнике AOH: угол OAH = 35°, угол AOH = 90°. Угол OHA = 180 - 90 - 35 = 55°.
19. Если угол между диагональю и стороной 35°, то половина угла ромба равна 35°. Полный угол ромба равен 70°.
20. Угол ромба, прилежащий к стороне, равен 70°. Диагональ делит его пополам, т.е. 35°.
21. Перпендикуляр из точки пересечения диагоналей к стороне. В треугольнике AHO: \( ·(OAH) = 35^° \), \( ·(OHA) = 90^° \), \( ·(AOH) = 55^° \).
22. Угол AOH - это половина угла ромба. Значит, угол ромба равен \( 55^° · 2 = 110^° \).
23. Тогда острый угол ромба = \( 180^° - 110^° = 70^° \).
24. Давайте проверим еще раз. Пусть острый угол ромба равен \( · \). Тогда половина острого угла \( ·/2 \). Диагонали ромба перпендикулярны. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной диагонали, стороной ромба и перпендикуляром.
25. В ромбе диагонали пересекаются под углом 90°. Пусть точки пересечения диагоналей - O, вершины ромба - A, B, C, D. Рассмотрим треугольник AOB. Он прямоугольный. AO и BO - половины диагоналей. AB - сторона ромба.
26. Пусть перпендикуляр из O к AB - OH. Угол OHA = 90°.
27. Угол между перпендикуляром OH и диагональю AO = 35°.
28. В прямоугольном треугольнике AOH: \( ·(OAH) + ·(AOH) = 90^° \).
29. \( ·(AOH) = 90^° - 35^° = 55^° \).
30. Угол AOH - это половина угла ромба. Значит, угол ромба равен \( 55^° · 2 = 110^° \).
31. Этот угол тупой. Острый угол ромба равен \( 180^° - 110^° = 70^° \).

Ответ: 70