16. Площадь прямоугольного треугольника равна 512√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Пошаговое решение:

1. Формула площади прямоугольного треугольника: \( S = \frac{1}{2} · a · b \), где \( a \) и \( b \) — катеты.
2. Тригонометрические соотношения:
   Пусть данный острый угол равен \( α = 60^° \). Угол, прилежащий к этому углу катет, назовем \( a \), а противолежащий — \( b \).
   \( an(α) = rac{b}{a} \)
   \( an(60^°) = rac{b}{a} \)
   \( β = ·3 \)
3. Из соотношения \( an(60^°) = ·3 \) следует, что \( b = a · ·3 \).
4. Подставляем это в формулу площади:
   \( S = \frac{1}{2} · a · (a · ·3) \)
   \( S = \frac{a^2 · ·3}{2} \)
5. Нам дана площадь \( S = 512·3 \). Приравниваем:
   \( 512·3 = \frac{a^2 · ·3}{2} \)
6. Умножаем обе части на 2 и делим на \( ·3 \):
   \( 512 · 2 = a^2 \)
   \( 1024 = a^2 \)
7. Находим катет \( a \), извлекая квадратный корень:
   \( a = ·{1024} \)
   \( a = 32 \)

Ответ: 32