16. Решите неравенство \( \frac{x+4}{3x-15} < 0 \)

Решение:

Чтобы решить дробно-рациональное неравенство, найдем корни числителя и знаменателя.

Числитель: \( x + 4 = 0 ⇒ x = -4 \).

Знаменатель: \( 3x - 15 = 0 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5 \).

Эти значения делят числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; -4) \), \( (-4; 5) \) и \( (5; +\infty) \).

Определим знак выражения \( \frac{x+4}{3x-15} \) на каждом интервале:

• Интервал \( (-\infty; -4) \): Возьмем \( x = -5 \). \( \frac{-5+4}{3(-5)-15} = \frac{-1}{-15-15} = \frac{-1}{-30} = \frac{1}{30} > 0 \).
• Интервал \( (-4; 5) \): Возьмем \( x = 0 \). \( \frac{0+4}{3(0)-15} = \frac{4}{-15} < 0 \).
• Интервал \( (5; +\infty) \): Возьмем \( x = 6 \). \( \frac{6+4}{3(6)-15} = \frac{10}{18-15} = \frac{10}{3} > 0 \).

Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля ( \( < 0 \) ), поэтому выбираем интервал, где знак минус.

Ответ: \( (-4; 5) \).