16. Прямые т и п параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 40°, ∠2 = 55°

Решение:

Дано:

• Прямые \( m \) и \( n \) параллельны (\( m \parallel n \)).
• \( \angle 1 = 40^{\circ} \).
• \( \angle 2 = 55^{\circ} \).

Нам нужно найти \( \angle 3 \).

Проведём через вершину \( \angle 3 \) прямую \( p \), параллельную \( m \) и \( n \).

\( m – p – n \)

\( \angle 1 \) и угол, смежный с \( \angle 3 \) (назовём его \( \angle 4 \)), являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \( m \) и \( p \) и секущей. Следовательно, \( \angle 4 = \angle 1 = 40^{\circ} \).

\( \angle 3 \) и \( \angle 2 \) являются односторонними углами при параллельных прямых \( n \) и \( p \) и секущей, но \( \angle 2 \) не является односторонним углом к \( \angle 3 \).

Рассмотрим угол, смежный с \( \angle 2 \). Назовём его \( \angle 5 \). Тогда \( \angle 5 = 180^{\circ} - \angle 2 = 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ} \). Этот угол не имеет отношения к \( \angle 3 \).

Давайте проведём другую вспомогательную прямую. Через вершину угла \( \angle 3 \) проведём прямую \( k \) параллельную \( m \) и \( n \).

Угол \( \angle 1 = 40^{\circ} \) и часть угла \( \angle 3 \), которая прилегает к нему (назовём её \( \alpha \)), являются накрест лежащими при параллельных прямых \( m \) и \( k \). Значит, \( \alpha = \angle 1 = 40^{\circ} \).

Угол \( \angle 2 = 55^{\circ} \) и другая часть угла \( \angle 3 \) (назовём её \( \beta \)) являются накрест лежащими при параллельных прямых \( n \) и \( k \). Значит, \( \beta = \angle 2 = 55^{\circ} \).

Таким образом, \( \angle 3 = \alpha + \beta \).

\( \angle 3 = 40^{\circ} + 55^{\circ} = 95^{\circ} \).

Ответ: 95°.