16. Диагональ АС ромба ABCD равна 36, а tg∠BCA = 4/3. Найдите радиус окружности вписанной в ромб.

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть диагонали пересекаются в точке О. Тогда AO = OC = 36/2 = 18.

В прямоугольном треугольнике BOC, tg∠BCA = OB/OC. Следовательно, OB = OC * tg∠BCA = 18 * (4/3) = 24.

Диагональ BD = 2 * OB = 2 * 24 = 48.

Сторона ромба AB = sqrt(AO² + OB²) = sqrt(18² + 24²) = sqrt(324 + 576) = sqrt(900) = 30.

Площадь ромба S = (1/2) * AC * BD = (1/2) * 36 * 48 = 18 * 48 = 864.

Также площадь ромба S = a * h, где a - сторона ромба, h - высота ромба. Высота ромба равна диаметру вписанной окружности (2r).

h = S / a = 864 / 30 = 28.8.

Радиус вписанной окружности r = h / 2 = 28.8 / 2 = 14.4.

Ответ: 14.4