15*. В стозначном числе 12345678901234567890... 1234567890 вычеркнули все цифры, стоящие на нечётных местах. В полученном пятидесятизначном числе вновь вычеркнули все цифры, стоящие на нечётных местах. Вычёркивание продолжалось до тех пор, пока ничего не осталось. Какая цифра была вычеркнута последней?

Решение:

Исходное число имеет 100 цифр. Цифры на нечётных местах (1-я, 3-я, 5-я...) вычёркиваются. Остаются цифры на чётных местах (2-я, 4-я, 6-я...).

Шаг 1:

• Исходное число: 1234567890...
• Вычёркиваем 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9...
• Остаётся: 2468024680... (50 цифр).

Шаг 2:

• Число: 2468024680...
• Вычёркиваем 2, 6, 0, 4, 8, 0...
• Остаётся: 4826048260... (25 цифр).

Шаг 3:

• Число: 4826048260...
• Вычёркиваем 4, 2, 0, 8, 6, 0...
• Остаётся: 8640286402... (12 цифр, одна цифра из 25 будет последней, она не вычеркивается в этом шаге).

Шаг 4:

• Число: 8640286402... (12 цифр).
• Вычёркиваем 8, 4, 2, 6, 0, 8, 4, 0, 2...
• Остаётся: 602... (6 цифр).

Шаг 5:

• Число: 602... (6 цифр).
• Вычёркиваем 6, 2, 0...
• Остаётся: 0... (3 цифры).

Шаг 6:

• Число: 0... (3 цифры).
• Вычёркиваем 0, ...
• Остаётся: ... (1 цифра).

Шаг 7:

• Остаётся одна цифра. Она вычёркивается на последнем шаге.

  Давайте проследим за конкретной цифрой. Возьмём цифру '2'. Она находится на 2-м месте. На первом шаге она остаётся (2-е место чётное). На втором шаге она находится уже на 1-м месте (нечётное), значит, будет вычеркнута. Это значит, что конкретная цифра не важна, а важно, какая цифра окажется на последнем, единственном месте.

  Посмотрим на последние оставшиеся цифры:

  100 цифр -> 50 цифр (чётные: 2, 4, 6, 8, 0)

  50 цифр -> 25 цифр (2-е, 4-е, 6-е, 8-е, 0-е места: 4, 8, 2, 6, 0)

  25 цифр -> 12 цифр (2-е, 4-е, 6-е, 8-е, 0-е места: 8, 6, 4, 0, 2)

  12 цифр -> 6 цифр (2-е, 4-е, 6-е, 8-е, 0-е места: 6, 0, 2, 8, 4)

  6 цифр -> 3 цифры (2-е, 4-е, 6-е места: 0, 8, 4)

  3 цифры -> 1 цифра (2-е место: 8)

  На последнем шаге останется одна цифра, которая и будет вычеркнута.

  Ответ: 8.