14. Найдите последнюю цифру суммы 20 слагаемых: 1+5 + 2+6 + 3+7 + ... + 19+23 + 20+24 (Всю сумму искать не нужно!!!).

Решение:

Слагаемые представлены в виде пар: \( n + (n+4) \), где \( n \) меняется от 1 до 20.

Запишем первые несколько пар и их сумму:

• 1 + 5 = 6
• 2 + 6 = 8
• 3 + 7 = 10
• 4 + 8 = 12
• 5 + 9 = 14

Последние цифры сумм: 6, 8, 0, 2, 4.

Найдем последнюю цифру суммы каждой пары: \( n + (n+4) = 2n + 4 \).

Теперь найдём последние цифры для \( 2n + 4 \) при \( n \) от 1 до 20:

• \(n=1\): \(2(1) + 4 = 6\)
• \(n=2\): \(2(2) + 4 = 8\)
• \(n=3\): \(2(3) + 4 = 10 \rightarrow 0\)
• \(n=4\): \(2(4) + 4 = 12 \rightarrow 2\)
• \(n=5\): \(2(5) + 4 = 14 \rightarrow 4\)
• \(n=6\): \(2(6) + 4 = 16 \rightarrow 6\)
• \(n=7\): \(2(7) + 4 = 18 \rightarrow 8\)
• \(n=8\): \(2(8) + 4 = 20 \rightarrow 0\)

Последние цифры сумм пар образуют повторяющийся цикл: 6, 8, 0, 2, 4. Длина цикла — 5.

Всего у нас 20 слагаемых (пар). Количество полных циклов в 20 парах: \( 20 : 5 = 4 \).

Так как у нас ровно 4 полных цикла, последняя цифра суммы всей последовательности будет равна последней цифре последнего элемента цикла, то есть 4.

Ответ: 4.