15. Тип 15 № 341524 В треугольнике ABC отрезок DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 97. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

Отрезок \( DE \) является средней линией треугольника \( ABC \). Это означает, что \( DE \) параллельна \( AB \) и \( DE = \frac{1}{2} AB \).

Треугольник \( CDE \) подобен треугольнику \( CAB \) по двум углам (угол \( C \) общий, \( ∠ CED = ∠ CAB \) как соответственные при параллельных \( DE \) и \( AB \) и секущей \( AC \)).

Коэффициент подобия \( k = \frac{DE}{AB} = \frac{1}{2} \).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \( \frac{S_{CDE}}{S_{CAB}} = k^2 \).

Подставим известные значения:

\[ \frac{97}{S_{ABC}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \]

Вычислим площадь треугольника ABC:

\[ \frac{97}{S_{ABC}} = \frac{1}{4} \]

Решим пропорцию:

\[ S_{ABC} = 97 \cdot 4 = 388 \]

Проверка:

Площадь треугольника \( ABC \) должна быть больше площади \( CDE \), так как \( ABC \) больше \( CDE \). 388 > 97. Отношение площадей \( 388/97 = 4 \), что равно \( 2^2 \). Верно.

Ответ: 388.