Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC:
Нам известны гипотенуза \( AB = 8 \) см и угол \( ∠CBA = 30° \).
Катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. То есть, \( AC = \frac{1}{2} AB \).
\[ AC = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} = 4 \text{ см} \]Прилежащий катет к углу \( ∠CBA \) — это \( BC \). Для его нахождения воспользуемся синусом угла \( ∠CBA \):
\[ \sin(∠CBA) = \frac{AC}{AB} \]\[ \sin(30°) = \frac{AC}{8} \]\[ \frac{1}{2} = \frac{AC}{8} \]\[ AC = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ см} \]Для нахождения \( BC \) используем косинус угла \( ∠CBA \):
\[ \cos(∠CBA) = \frac{BC}{AB} \]\[ \cos(30°) = \frac{BC}{8} \]\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BC}{8} \]\[ BC = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]\[ BC = 4\sqrt{3} \text{ см} \]2. Рассмотрим прямоугольный треугольник CDB:
В этом треугольнике \( ∠CDB = 90° \) (так как CD — высота) и \( ∠CBA = 30° \) (этот же угол). Сторона \( BC \) является гипотенузой для треугольника CDB.
Нам нужно найти отрезок \( BD \), который является катетом, прилежащим к углу \( ∠CBA \) в треугольнике CDB.
Используем косинус угла \( ∠CBA \):
\[ \cos(∠CBA) = \frac{BD}{BC} \]\[ \cos(30°) = \frac{BD}{4\sqrt{3}} \]\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BD}{4\sqrt{3}} \]Выразим \( BD \):
\[ BD = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4\sqrt{3} \]\[ BD = \frac{4 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2} \]\[ BD = \frac{4 \cdot 3}{2} \]\[ BD = \frac{12}{2} \]\[ BD = 6 \text{ см} \]Ответ: \( BD = 6 \) см.
