13. От вершины С равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ отложены равные отрезки: СА1 на стороне СА и СВ1 на стороне СВ. Докажите равенство треугольников 1) САВ1 и СВА1; 2) АВВ1 и ВАА1

Дано:

Треугольник ABC - равнобедренный, \( AC = BC \).

\( CA_1 = CB_1 \) (отрезки отложены от вершины C).

Доказать:

1) \( △ CAB_1 = △ CBA_1 \)

2) \( △ ABB_1 = △ BAA_1 \)

Решение:

1) Доказательство равенства \( △ CAB_1 \) и \( △ CBA_1 \):

Рассмотрим треугольники \( △ CAB_1 \) и \( △ CBA_1 \).

• Сторона: \( CA = CB \) (по условию, треугольник ABC равнобедренный).
• Сторона: \( CA_1 = CB_1 \) (по условию).
• Угол: \( ∠ C \) — общий для обоих треугольников.

По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), \( △ CAB_1 = △ CBA_1 \).

2) Доказательство равенства \( △ ABB_1 \) и \( △ BAA_1 \):

Рассмотрим треугольники \( △ ABB_1 \) и \( △ BAA_1 \).

• Сторона: \( AB \) — общая сторона для обоих треугольников.
• Сторона: \( AB_1 = BA_1 \). Так как \( AC = BC \) и \( CA_1 = CB_1 \), то \( AC - CA_1 = BC - CB_1 \), что означает \( AA_1 = BB_1 \).
• Угол: \( ∠ A = ∠ B \) (углы при основании равнобедренного треугольника ABC).

По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), \( △ ABB_1 = △ BAA_1 \).

Доказано.