1117 Найдите площадь круга, вписанного: а) в равносторонний треугольник со стороной а; б) в прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим к нему острым углом с; в) в равнобедренный треугольник с боковой стороной а и углом а, противолежащим основанию; г) в равнобедренную трапецию с большим основанием а и острым углом а.

Решение:

а) Площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник:

Радиус вписанной окружности \( r = \frac{S_{тр}}{p} \), где \( S_{тр} \) — площадь треугольника, \( p \) — полупериметр.

Для равностороннего треугольника со стороной \( a \): \( S_{тр} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \), \( p = \frac{3a}{2} \).

\( r = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} a^2}{\frac{3a}{2}} = \frac{\sqrt{3} a^2}{4} \cdot \frac{2}{3a} = \frac{\sqrt{3} a}{6} = \frac{a}{2\sqrt{3}} \).

Площадь круга: \( S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{12} \).

б) Площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник:

Пусть катет \( a \), прилежащий к углу \( \alpha \). Тогда второй катет \( b = a \tan \alpha \). Гипотенуза \( c = \frac{a}{\cos \alpha} \).

Радиус вписанной окружности \( r = \frac{S_{тр}}{p} \) или \( r = \frac{a+b-c}{2} \).

\( r = \frac{a + a \tan \alpha - \frac{a}{\cos \alpha}}{2} = \frac{a (1 + \tan \alpha - \frac{1}{\cos \alpha})}{2} = \frac{a (1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{1}{\cos \alpha})}{2} = \frac{a (\cos \alpha + \sin \alpha - 1)}{2 \cos \alpha} \).

Площадь круга: \( S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a (\cos \alpha + \sin \alpha - 1)}{2 \cos \alpha}\right)^2 = \frac{\pi a^2 (\cos \alpha + \sin \alpha - 1)^2}{4 \cos^2 \alpha} \).

в) Площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник:

Боковая сторона \( a \), угол при вершине \( \alpha \). Основание \( b = 2a \sin(\alpha/2) \). Высота \( h = a \cos(\alpha/2) \).

Площадь треугольника \( S_{тр} = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} \cdot 2a \sin(\alpha/2) \cdot a \cos(\alpha/2) = a^2 \sin(\alpha/2) \cos(\alpha/2) = \frac{1}{2} a^2 \sin \alpha \).

Полупериметр \( p = \frac{a + a + 2a \sin(\alpha/2)}{2} = a + a \sin(\alpha/2) = a(1 + \sin(\alpha/2)) \).

Радиус вписанной окружности \( r = \frac{S_{тр}}{p} = \frac{\frac{1}{2} a^2 \sin \alpha}{a(1 + \sin(\alpha/2))} = \frac{\frac{1}{2} a^2 (2 \sin(\alpha/2) \cos(\alpha/2))}{a(1 + \sin(\alpha/2))} = \frac{a \sin(\alpha/2) \cos(\alpha/2)}{1 + \sin(\alpha/2)} \).

Площадь круга: \( S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a \sin(\alpha/2) \cos(\alpha/2)}{1 + \sin(\alpha/2)}\right)^2 \).

г) Площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию:

Для того чтобы в трапецию можно было вписать окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон. Пусть большее основание \( a \), меньшее \( b \), боковая сторона \( c \). Угол при большем основании \( \alpha \). Тогда \( a+b = 2c \).

Высота трапеции \( h = 2r \).

Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковой стороной и отрезком \( \frac{a-b}{2} \), имеем \( c = \frac{(a-b)/2}{\cos \alpha} \).

\( r = \frac{h}{2} \). Также \( h = (\frac{a-b}{2}) \tan \alpha \).

Из условия \( a+b = 2c \): \( b = 2c - a \).

\( h = \frac{a-(2c-a)}{2} \tan \alpha = \frac{2a-2c}{2} \tan \alpha = (a-c) \tan \alpha \).

\( c = \frac{a-b}{2 \cos \alpha} = \frac{a-(2c-a)}{2 \cos \alpha} = \frac{2a-2c}{2 \cos \alpha} \).

\( c \cos \alpha = a-c \Rightarrow c(1+\cos \alpha) = a \Rightarrow c = \frac{a}{1+\cos \alpha} \).

\( h = (a - \frac{a}{1+\cos \alpha}) \tan \alpha = a (1 - \frac{1}{1+\cos \alpha}) \tan \alpha = a \frac{\cos \alpha}{1+\cos \alpha} \tan \alpha = \frac{a \sin \alpha}{1+\cos \alpha} \).

Радиус вписанной окружности \( r = \frac{h}{2} = \frac{a \sin \alpha}{2(1+\cos \alpha)} = \frac{a (2 \sin(\alpha/2) \cos(\alpha/2))}{2(2 \cos^2(\alpha/2))} = \frac{a \sin(\alpha/2)}{2 \cos(\alpha/2)} = \frac{a}{2} \tan(\alpha/2) \).

Площадь круга: \( S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a}{2} \tan(\alpha/2)\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4} \tan^2(\alpha/2) \).