11. Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа больше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч).

Скорость течения реки \( v_т = 2 \) км/ч.

Скорость лодки против течения: \( v_{пр} = v - v_т = v - 2 \) (км/ч).

Скорость лодки по течению: \( v_{по} = v + v_т = v + 2 \) (км/ч).

Расстояние \( S = 77 \) км.

Время в пути против течения: \( t_{пр} = \frac{S}{v_{пр}} = \frac{77}{v-2} \) (ч).

Время в пути по течению: \( t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{77}{v+2} \) (ч).

По условию, на обратный путь (по течению) было затрачено на 2 часа больше, чем против течения. Это означает, что время против течения было меньше.

\( t_{пр} = t_{по} + 2 \)

\( \frac{77}{v-2} = \frac{77}{v+2} + 2 \)

Перенесём \( \frac{77}{v+2} \) влево:

\( \frac{77}{v-2} - \frac{77}{v+2} = 2 \)

Приведём к общему знаменателю \( (v-2)(v+2) \):

\( \frac{77(v+2) - 77(v-2)}{(v-2)(v+2)} = 2 \)

\( \frac{77v + 154 - 77v + 154}{v^2 - 4} = 2 \)

\( \frac{308}{v^2 - 4} = 2 \)

\( 308 = 2(v^2 - 4) \)

\( 154 = v^2 - 4 \)

\( v^2 = 154 + 4 \)

\( v^2 = 158 \)

\( v = \sqrt{158} \) (скорость не может быть отрицательной).

\( \sqrt{158} \approx 12,57 \)

Проверим условие: \( v > v_т \), то есть \( \sqrt{158} > 2 \), что верно.

Ответ: \(\sqrt{158}\) км/ч