1097 Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников — вписанного в окружность и описанного около неё.

Решение:

Пусть дан радиус окружности \( R \).

1. Правильный шестиугольник, вписанный в окружность:
• Сторона вписанного шестиугольника \( a_в \) равна радиусу описанной окружности: \( a_в = R \).
• Площадь вписанного шестиугольника \( S_в = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_в^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} R^2 \).
2. Правильный шестиугольник, описанный около окружности:
• Радиус вписанной окружности \( r \) для шестиугольника равен стороне шестиугольника \( a_о \) умноженной на \( \frac{\sqrt{3}}{2} \): \( r = \frac{a_о\sqrt{3}}{2} \).
• Так как окружность описана около шестиугольника, то радиус этой окружности \( R \) равен радиусу вписанной окружности для шестиугольника, то есть \( R = r \).
• Следовательно, \( R = \frac{a_о\sqrt{3}}{2} \).
• Найдем сторону описанного шестиугольника: \( a_о = \frac{2R}{\sqrt{3}} \).
• Площадь описанного шестиугольника \( S_о = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_о^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} (\frac{2R}{\sqrt{3}})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4R^2}{3} = 2\sqrt{3} R^2 \).
3. Найдем отношение площадей:
• \[ \frac{S_в}{S_о} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2} R^2}{2\sqrt{3} R^2} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{4} \]

Ответ: отношение площадей вписанного шестиугольника к описанному равно 3/4.