1095 Расстояние между параллельными гранями шестигранной головки болта, основание которого имеет форму правильного шестиугольника, равно 1,5 см. Найдите площадь основания.

Решение:

Расстояние между параллельными гранями правильного шестиугольника равно удвоенному радиусу вписанной окружности. Это расстояние также равно стороне шестиугольника, умноженной на \( \sqrt{3} \).

Пусть \( a \) — сторона правильного шестиугольника.

Расстояние между параллельными гранями равно \( 2r \), где \( r \) — радиус вписанной окружности.

Для правильного шестиугольника, \( r = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

Следовательно, расстояние между параллельными гранями равно \( 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3} \).

1. По условию, это расстояние равно 1,5 см:
   \( a\sqrt{3} = 1.5 \)
2. Найдем сторону шестиугольника:
   \( a = \frac{1.5}{\sqrt{3}} = \frac{1.5\sqrt{3}}{3} = 0.5\sqrt{3} \) см.
3. Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \)
4. Подставляем значение стороны:
   \( S = \frac{3\sqrt{3}}{2} (0.5\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} (0.25 \cdot 3) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 0.75 = \frac{2.25\sqrt{3}}{2} = 1.125\sqrt{3} \) см².

Ответ: площадь основания равна \( 1.125\sqrt{3} \) см².