1089 Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.

Решение:

1. Найдем сторону правильного треугольника \( a_3 \):
   \( P = 3a_3 \)
   \( 18 = 3a_3 \)
   \( a_3 = \frac{18}{3} = 6 \) см.
2. Найдем радиус окружности \( R \), в которую вписан треугольник:
   \( a_3 = R\sqrt{3} \)
   \( 6 = R\sqrt{3} \)
   \( R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \) см.
3. Найдем сторону квадрата \( a_4 \), вписанного в эту же окружность:
   \( a_4 = R\sqrt{2} \)
   \( a_4 = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{6} \) см.

Ответ: сторона квадрата равна \( 2\sqrt{6} \) см.