1096 Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения площадей этих многоугольников.

Решение:

Пусть сторона всех многоугольников равна \( a \).

1. Площадь правильного треугольника: \( S_3 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \).
2. Площадь квадрата: \( S_4 = a^2 \).
3. Площадь правильного шестиугольника: \( S_6 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \).

Найдем отношения площадей:

Отношение площади треугольника к площади квадрата:

\[ \frac{S_3}{S_4} = \frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{a^2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \]

Отношение площади квадрата к площади шестиугольника:

\[ \frac{S_4}{S_6} = \frac{a^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2} a^2} = \frac{1}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9} \]

Отношение площади треугольника к площади шестиугольника:

\[ \frac{S_3}{S_6} = \frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{3\sqrt{3}}{2} a^2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \]

Ответ: Отношение площадей (треугольник : квадрат : шестиугольник) равно \( \frac{\sqrt{3}}{4} : 1 : \frac{3\sqrt{3}}{2} \), или, если привести к общему знаменателю и убрать \( a^2 \), то \( \sqrt{3} : 4 : 6\sqrt{3} \).