1092 Около окружности описаны квадрат и правильный шестиугольник. Найдите периметр квадрата, если периметр шестиугольника равен 48 см.

Решение:

Окружность, вписанная в квадрат и описанная около шестиугольника, имеет один и тот же радиус \( r \).

1. Найдем сторону правильного шестиугольника \( a_6 \). Периметр шестиугольника \( P_6 = 6a_6 \).
   \( 48 = 6a_6 \)
   \( a_6 = \frac{48}{6} = 8 \) см.
2. Радиус вписанной в шестиугольник окружности равен стороне шестиугольника: \( r = a_6 = 8 \) см.
3. Эта же окружность вписана в квадрат. Значит, сторона квадрата \( a_4 \) равна диаметру этой окружности.
   \( a_4 = 2r = 2 \cdot 8 = 16 \) см.
4. Найдем периметр квадрата \( P_4 \):
   \( P_4 = 4a_4 = 4 \cdot 16 = 64 \) см.

Ответ: периметр квадрата равен 64 см.