10. Точки А, В, С и D лежат на одной окружности так, что хорды AB и CD взаимно перпендикулярны, а ∠BDC = 25°. Найдите величину угла ACD.

Решение:

1. Угол BDC является вписанным и опирается на дугу BC. Следовательно, дуга BC равна 2 * ∠BDC = 2 * 25° = 50°.
2. Угол BAC также является вписанным и опирается на дугу BC. Следовательно, ∠BAC = 50° / 2 = 25°.
3. Угол ABD является вписанным и опирается на дугу AD.
4. Угол ACB является вписанным и опирается на дугу AB.
5. Так как хорды AB и CD перпендикулярны, то углы, образованные их пересечением, равны 90°.
6. Рассмотрим треугольник, образованный пересечением хорд AB и CD.
7. В треугольнике ACD, ∠ADC = 90° (т.к. CD перпендикулярна AB, и угол между ними 90°).
8. В треугольнике BCD, ∠CBD = 25° (вписанный угол, опирается на дугу CD).
9. В треугольнике ACD, ∠CAD + ∠ADC + ∠ACD = 180°.
10. Угол ACD = 180° - ∠CAD - ∠ADC.
11. В прямоугольном треугольнике, образованном пересечением хорд, угол, опирающийся на дугу AD, равен 90° - ∠CAD.
12. Угол ACD = 90° - ∠CAD.
13. Мы знаем, что ∠BDC = 25°.
14. ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD.
15. ∠ABC опирается на дугу AC.
16. ∠ACD опирается на дугу AD.
17. Угол CAD = 90° - 50° = 40° (в треугольнике, образованном пересечением хорд).
18. ∠ACD = 90° - 40° = 50°.
19. Альтернативный путь: Дуга BC = 50°. Дуга AB = 360° - 2 * (дуга BC + дуга CD).
20. Вписанный угол ACD опирается на дугу AD.
21. В прямоугольном треугольнике, образованном пересечением хорд, угол, соответствующий ∠CAD, равен 90° - ∠CBD (где CBD опирается на дугу CD).
22. ∠CBD = 25°.
23. ∠CAD = 90° - 25° = 65°.
24. ∠ACD = 90° - 65° = 25°.
25. Проверяем: ∠BAC = 25° (на дугу BC). ∠CAD = 65°. ∠BAD = 25° + 65° = 90°. Это означает, что BD - диаметр, если AB перпендикулярна CD.
26. Если AB ⊥ CD, то дуги, заключенные между ними, равны. Дуга AD = Дуга BC.
27. ∠BDC = 25°, значит дуга BC = 50°.
28. Следовательно, дуга AD = 50°.
29. Угол ACD опирается на дугу AD.
30. ∠ACD = Дуга AD / 2 = 50° / 2 = 25°.