10. Решите уравнение 4 \(\cdot\) 2^(cos x) = \(\sqrt{8}\).

Решение:

Запишем \( 4 \) и \( \sqrt{8} \) как степени двойки:

\( 4 = 2^2 \)

\( \sqrt{8} = 8^{1/2} = (2^3)^{1/2} = 2^{3/2} \)

Подставим это в уравнение:

\[ 2^2 \cdot 2^{\cos x} = 2^{3/2} \]

Используем свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \):

\[ 2^{2 + \cos x} = 2^{3/2} \]

Так как основания равны, приравняем показатели степени:

\[ 2 + \cos x = \frac{3}{2} \]

\[ \cos x = \frac{3}{2} - 2 \]

\[ \cos x = \frac{3}{2} - \frac{4}{2} \]

\[ \cos x = -\frac{1}{2} \]

Уравнение \( \cos x = a \) имеет решения, если \( -1 \leq a \leq 1 \). В нашем случае \( -1 \leq -\frac{1}{2} \leq 1 \), значит, решения есть.

Общий вид решения для \( \cos x = -\frac{1}{2} \) таков:

\[ x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n \], где \( n \in \mathbb{Z} \).

Основной угол, косинус которого равен \( -\frac{1}{2} \) — это \( \frac{2\pi}{3} \).

\[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).