1. Вычислите: \( \frac{(5^7)^2}{5^{12}} \)

Решение:

Используем свойства степеней. При возведении степени в степень показатели перемножаются: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \). При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

1. Возведём степень в степень: \( (5^7)^2 = 5^{7 \cdot 2} = 5^{14} \)
2. Подставим в исходное выражение: \( \frac{5^{14}}{5^{12}} \)
3. Выполним деление степеней: \( 5^{14-12} = 5^2 \)
4. Вычислим результат: \( 5^2 = 25 \)

Ответ: 25