№ 3. Периметр ∆ АВС = 46, AB = AC, внешний угол при угле С равен 148°, одна из сторон равна 12. Найдите длины всех сторон и градусные меры всех углов ∆ АВС.

Внешний угол при угле C равен 148°, следовательно, внутренний угол C равен:

$$∠C = 180° - 148° = 32°$$

Так как AB = AC, то треугольник равнобедренный, и углы при основании равны. Следовательно, ∠B = ∠C = 32°.

Найдем угол A:

$$∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 32° - 32° = 116°$$

Пусть сторона BC = 12. Тогда периметр равен:

$$AB + AC + BC = 46$$

$$AB + AC = 46 - 12 = 34$$

Так как AB = AC, то:

$$2AB = 34$$

$$AB = 17$$

$$AC = 17$$

Пусть сторона AB = 12. Тогда:

$$12 + AC + BC = 46$$

$$AC + BC = 34$$

Так как AB = AC, то AC = 12. Следовательно:

$$12 + BC = 34$$

$$BC = 22$$

Углы треугольника: ∠A = 116°, ∠B = 32°, ∠C = 32°.

Если BC = 12, то AB = AC = 17.

Если AB = 12, то AC = 12 и BC = 22.