105 ☐ Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а. Перпендикуляры АВ и CD к прямой а равны. а) Докажите, что ∠ABD = ∠CDB; б) найдите ∠ABC, если ∠ADB = 44°.

Дано: точки A и C лежат по одну сторону от прямой a; AB ⊥ a, CD ⊥ a; AB = CD.

Доказать: ∠ABD = ∠CDB; найти ∠ABC, если ∠ADB = 44°.

а) Рассмотрим треугольники ABD и CDB.

AB ⊥ a, CD ⊥ a ⇒ ∠ABD = 90°, ∠CDB = 90°.

Следовательно, ∠ABD = ∠CDB = 90°.

б) Так как AB ⊥ a, CD ⊥ a, то AB || CD. Значит, ABCD - трапеция.

Так как AB = CD, трапеция ABCD - равнобедренная.

Значит углы при основании AD равны, т.е. ∠BAD=∠CDA.

∠ADB = 44°, тогда ∠ADC = 90° (так как CD ⊥ a).

Значит ∠CDB= ∠CDA = 90°.

∠CDA = ∠ADB + ∠CDB = 44° + 90° = 134°

∠BAD=∠CDA=134° (углы при основании равнобедренной трапеции равны).

Рассмотрим треугольник ABD.

Сумма углов треугольника равна 180°, значит ∠ABD + ∠BAD + ∠ADB = 180°.

Известно, что ∠ABD=90°, ∠BAD=134°, ∠ADB=44°.

Тогда ∠ABC = 180° - (∠BAD + ∠ADB) = 180° - (134° + 44°) = 180° - 178° = 2°.

Ответ: а) ∠ABD = ∠CDB = 90°; б) ∠ABC = 2°.