106 ☐ Медиана AD треугольника АВС продолжена за точку D на отрезок DE, равный AD, и точка Е соединена с точкой С. а) Докажите, что △ABD = △ECD; б) найдите ∠ACE, если ∠ACD = 56°, ∠ABD = 40°.

Дано: AD - медиана треугольника ABC, AD = DE, EC - отрезок.

Доказать: △ABD = △ECD; найти ∠ACE, если ∠ACD = 56°, ∠ABD = 40°.

а) Рассмотрим треугольники ABD и ECD.

AD = DE (по условию), BD = DC (так как AD - медиана), ∠ADB = ∠CDE (вертикальные углы), следовательно, △ABD = △ECD по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

б) Так как △ABD = △ECD, то ∠ABD = ∠CED = 40° и ∠BAD = ∠DEC.

∠ACD = 56° (по условию).

Рассмотрим треугольник AEC: ∠ACE + ∠CEA + ∠EAC = 180°.

Так как ∠CEA = ∠ABD = 40° и ∠ACD=56°, то ∠ECA = ∠ACD.

Известно, что ∠ACD = 56°, значит ∠ACE = 56°.

Рассмотрим треугольник ABC.

∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.

Так как AD - медиана, то BD = DC, значит BC = BD + DC.

∠BCA = ∠ACD + ∠ACE=56°+56° = 112°.

∠ABC=40°.

Тогда ∠BAC = 180° - (∠ABC + ∠BCA) = 180° - (40° + 112°) = 180° - 152° = 28°.

Отсюда ∠EAC=∠BAC=28°.

Тогда ∠ACE= 180° - (40°+28°) = 180° - 68° = 112°.

Ответ: а) △ABD = △ECD, что и требовалось доказать; б) ∠ACE = 112°.