4. ★☆☆ Угол прямоугольного треугольника равен 30°, а его гипотенуза равна 12. Найдите отрезки, на которые высота этого треугольника разбивает гипотенузу.

Ответ:

Решение:

1. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, углом A = 30° и гипотенузой AB = 12.
2. Проведем высоту CH к гипотенузе AB.
3. Тогда треугольник ACH – прямоугольный с углом A = 30°.
4. В прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.
5. Тогда AH = AC / 2.
6. Найдем AC, используя косинус угла A: cos(30°) = AC / AB.
7. cos(30°) = √3 / 2.
8. Тогда AC = AB * cos(30°) = 12 * (√3 / 2) = 6√3.
9. Следовательно, AH = AC / 2 = (6√3) / 2 = 3√3.
10. Найдем HB: HB = AB - AH = 12 - 3√3.

Ответ: Отрезки, на которые высота разбивает гипотенузу, равны 3√3 и 12 - 3√3.