4. [x² + y² = 18, (xy = 8;

4. Решим систему уравнений: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 18 \\ xy = 8 \end{cases}$$ Из второго уравнения выразим y: $$y = \frac{8}{x}$$ Подставим это выражение в первое уравнение: $$x^2 + (\frac{8}{x})^2 = 18$$ $$x^2 + \frac{64}{x^2} = 18$$ $$x^4 + 64 = 18x^2$$ $$x^4 - 18x^2 + 64 = 0$$ Пусть $$t = x^2$$, тогда: $$t^2 - 18t + 64 = 0$$ $$D = (-18)^2 - 4(1)(64) = 324 - 256 = 68$$ $$t_1 = \frac{18 + \sqrt{68}}{2} = \frac{18 + 2\sqrt{17}}{2} = 9 + \sqrt{17}$$ $$t_2 = \frac{18 - \sqrt{68}}{2} = \frac{18 - 2\sqrt{17}}{2} = 9 - \sqrt{17}$$ Теперь найдем значения x: $$x^2 = 9 + \sqrt{17} \Rightarrow x = \pm \sqrt{9 + \sqrt{17}}$$ $$x^2 = 9 - \sqrt{17} \Rightarrow x = \pm \sqrt{9 - \sqrt{17}}$$ Найдем соответствующие значения y: Если $$x = \sqrt{9 + \sqrt{17}}$$, то $$y = \frac{8}{\sqrt{9 + \sqrt{17}}}$$ Если $$x = -\sqrt{9 + \sqrt{17}}$$, то $$y = \frac{8}{-\sqrt{9 + \sqrt{17}}}$$ Если $$x = \sqrt{9 - \sqrt{17}}$$, то $$y = \frac{8}{\sqrt{9 - \sqrt{17}}}$$ Если $$x = -\sqrt{9 - \sqrt{17}}$$, то $$y = \frac{8}{-\sqrt{9 - \sqrt{17}}}$$ Ответ: $$(\sqrt{9 + \sqrt{17}}; \frac{8}{\sqrt{9 + \sqrt{17}}}); (-\sqrt{9 + \sqrt{17}}; \frac{8}{-\sqrt{9 + \sqrt{17}}}); (\sqrt{9 - \sqrt{17}}; \frac{8}{\sqrt{9 - \sqrt{17}}}); (-\sqrt{9 - \sqrt{17}}; \frac{8}{-\sqrt{9 - \sqrt{17}}})$$