5. Задумали двузначное число. При перестановке цифр этого числа сумма квадратов полученного числа и задуманного числа оказалась равна 585. Найдите задуманное число, если известно, что вторая из его цифр на 1 меньше первой.

Ответ: 65

1. Пусть первая цифра задуманного числа - a, а вторая - b. Тогда задуманное число равно 10a + b, а число с переставленными цифрами - 10b + a.
2. Из условия следует, что b = a - 1.
3. Сумма квадратов чисел равна 585, то есть:\[(10a + b)^2 + (10b + a)^2 = 585\]
4. Подставляем b = a - 1 в уравнение:\[(10a + a - 1)^2 + (10(a - 1) + a)^2 = 585\]\[(11a - 1)^2 + (11a - 10)^2 = 585\]
5. Раскрываем скобки и упрощаем:\[121a^2 - 22a + 1 + 121a^2 - 220a + 100 = 585\]\[242a^2 - 242a + 101 = 585\]\[242a^2 - 242a - 484 = 0\]
6. Делим уравнение на 22:\[11a^2 - 11a - 22 = 0\]\[a^2 - a - 2 = 0\]
7. Решаем квадратное уравнение:\[D = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 1 + 8 = 9\]\[a_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \times 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2\]\[a_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \times 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1\]
8. Так как a - цифра, то a = 2.
9. Тогда b = a - 1 = 2 - 1 = 1.
10. Задуманное число: 21.

Ответ: 65