Задание 5. Было 100 чисел. Каждое из них увеличили на 1, и сумма их квадратов при этом не изменилась. Изменится ли сумма квадратов, если теперь каждое число ещё раз увеличить на 1, и если да, то на сколько?

Обозначим исходные числа через \(a_1,\ldots,a_{100}\). Условие говорит, что \(\sum (a_i+1)^2=\sum a_i^2\). Раскрывая скобки, получаем \(2\sum a_i+100=0\), откуда \(\sum a_i=-50\).

После второго увеличения каждое число станет \(a_i+2\). Изменение суммы квадратов относительно исходной равно \(\sum((a_i+2)^2-a_i^2)=4\sum a_i+400=4(-50)+400=200\).

Ответ: сумма квадратов увеличится на 200.