Задание 3. а) Докажите, что при любом натуральном $n$ число $n^2+8n+15$ не делится на $n+4$. б) Сократите дробь $\frac{21t+14}{4+12t+9t^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 3. а) Докажите, что при любом натуральном $n$ число $n^2+8n+15$ не делится на $n+4$. б) Сократите дробь…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим числитель с учётом делителя: $n^2+8n+15=(n+4)^2+2(n+4)-1$. При делении на $n+4$ остаток равен $-1$, то есть числу $n+4-1$ в стандартном остатке. Поскольку при натуральном $n$ имеем $n+4\ge5$, остаток $n+3$ ненулевой и меньше делителя. Следовательно, делимости нет.
Числитель: $21t+14=7(3t+2)$. Знаменатель: $4+12t+9t^2=(3t+2)^2$. Поэтому при $t\ne-\frac23$: $\frac{21t+14}{4+12t+9t^2}=\frac{7}{3t+2}$.

Задание 3. а) Докажите, что при любом натуральном \(n\) число \(n^2+8n+15\) не делится на \(n+4\). б) Сократите дробь \(\frac{21t+14}{4+12t+9t^2}\).